Colégio Pedro II – Unidade Escolar Centro 1° ano do ensino médio
Integrantes:
Ana Paula Schwenck n° 06
Carlos Eduardo Paiva n° 10
Mariana Paraizo n° 23
Patrícia Bastos n° 30

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Força centrípeta

A força centrípeta é uma força atuante em todos os corpos que estão em alguma trajetória curvilínea, circular ou não. No nosso trabalho, o objetivo é identificar essa força nos brinquedos de um parque de diversões e descrever sua atuação no funcionamento dos brinquedos.

Roda-Gigante

Um dos brinquedos que existe em muitos parques de diversão é a roda gigante.
Esse brinquedo é composto por um suporte metálico e por “cadeiras” que se movimentam em uma trajetória circular, devido ao formato do suporte.

Quando a roda gigante está parada, as únicas forças atuantes nas cadeiras são seus respectivos pesos, que podemos deduzir que são iguais, já que é muito comum todas as cadeiras serem iguais.

Quando existe o movimento, além do peso, existem as forças centrípeta e tangencial atuando em cada cadeira. Ao contrário da força centrípeta, que atua em todo o “percurso” da cadeira, a força tangencial só atua enquanto a roda gigante estiver efetuando uma aceleração que modifique sua velocidade angular, ou seja, a sua “velocidade de giro”. Por isso, analisaremos duas situações: Quando a roda-gigante estiver em movimento acelerado, ou seja, quando sua velocidade angular estiver aumentando; e quando a roda-gigante estiver em movimento uniforme, ou seja, quando sua velocidade angular for constante (Como o nosso objetivo é analisar a força centrípeta, desconsideraremos quando ela estiver parada, apesar de ser considerado também como movimento uniforme, já que sua velocidade não varia.).

Analisar o movimento retardado da roda é igual à analise do movimento acelerado, porem a aceleração estaria em sentido contrário à velocidade. Além disso, como a Roda-Gigante gira muito lentamente, ela quase não demora a parar, o que diminui ainda mais a importância do movimento retardado no brinquedo.
Quando a roda-gigante realiza um movimento acelerado, ela possui uma velocidade angular inicial e quatro forças: uma Força Tangencial, uma Força Centrípeta, seu Peso e sua Normal em relação ao suporte .

Para analisar seu movimento, devemos saber que a resultante vetorial de todas as forças dividido pela massa da cadeira é igual ao vetor da aceleração da cadeira. Pode-se perceber que as forças tangencial e centrípeta mudam constantemente de direção. Por esse motivo, a aceleração resultante também muda. Caso isso não acontecesse, as cadeiras teriam uma aceleração retilínea, e não girariam, o que poderia até quebrar o brinquedo. Por esse motivo é indispensável a presença das forças tangencial e centrípeta no funcionamento da roda-gigante.
Como não existem materiais ideais, ou seja, materiais sem massa, a cadeira possui uma nova força atuante: o Peso. Ao contrário das forças centrípeta e tangencial, o Peso se mantém sempre na mesma direção, o que poderia modificar o módulo da aceleração vetorial de cada cadeira. Mas como uma cadeira poderia ter um modulo de aceleração vetorial diferente de outra?
Para isso, existe a força normal, que existe graças ao contato entre a cadeira e o suporte. Essa força impede que o peso atue na aceleração resultante final, ou seja, ela “anula” o peso da cadeira. Não é que a cadeira não tenha mais peso, mas sim que ele não influencia mais no movimento dela. Caso esse contato não existisse, o módulo do vetor da Normal seria zero, o que faria com que cada cadeira tivesse uma aceleração diferente, o que possivelmente faria ela se desprender do suporte. E ainda, caso o contato realmente fosse nulo, o suporte, que também possui peso, “entraria” no chão, que não faria nenhuma força contrária ao peso do suporte. Para anular o peso, a normal possui o mesmo módulo e a mesma direção do mesmo, mas com sentido diferente.

Cada cadeira da Roda-Gigante tem um “gancho” em seu lado esquerdo e outro em seu lado direito. Esses ganchos estão em contato direto com o suporte e, como estão suportando o peso da cadeira, têm normais que o anulam. Cada gancho é jogado para cima por uma normal, e a soma dessas normais anula o peso da cadeira.

Portanto, temos:

Fc = m. Ac
Ft = m . At
2N = P
P = m.g
Sendo:

Fc = Força Centrípeta
Ft = Força Tangencial
m = Massa das cadeiras
Ac = Aceleração Centrípeta
At = Aceleração Tangencial
N = Normal
P = Peso das cadeiras
g = Força da Gravidade

Já que Ac = Velocidade angular² (ώ ²) . Raio (R), temos:

Fc = m.R . ώ²

Nesse brinquedo, a força centrípeta é essencial, pois ela define, junto com a força Tangencial, a aceleração de giro da roda.

No caso da Roda-gigante estar com velocidade constante, ou seja, em movimento uniforme, a Força Tangencial se torna nula e apenas a Força Centrípeta, o Peso e as Normais atuam no brinquedo.

Como não há aceleração vertical nem horizontal, as forças atuantes devem se anular, logo:

Fc + P = 2N
Ft = m. At, mas sendo At = 0, Temos Ft = 0

Tobogã

Outro brinquedo muito conhecido em parques é o tobogã. Esse brinquedo é mais encontrado em parques aquáticos, já que a maioria depende de água.
Ele é um tubo que se inicia em determinada altura e desce girando em trajetórias circulares inclinadas até o chão ou até uma piscina. Nesse caso, devem-se analisar as forças atuantes, não em uma cadeira, mas na pessoa que descerá pelo tobogã. As forças são: Força Tangencial, Força Centrípeta, Peso da pessoa, Normal da pessoa em relação ao tubo e a Força de Atrito entre a pessoa e o tubo.

O Tobogã, em geral, descreve uma trajetória de forma que, ao observar uma “Vista Superior” do brinquedo, somente se veja uma circunferência perfeita.
Para iniciar a visualização do brinquedo, deve-se levar em conta que o tubo tem uma inclinação em relação ao chão, de ângulo Ө. Ө nunca será maior ou igual a 90°, sempre por volta de 30° a 45°.

Quando uma pessoa inicia a sua descida pelo tubo, pode-se desmembrar seu peso em duas outras forças: uma paralela ao tubo e em outra perpendicular, como foi feito em sala de aula nos exercícios de “Descidas de corpos em planos inclinados”.
A força paralela ao tubo será responsável, junto com a Força Tangencial, em aumentar a velocidade “horizontal” da pessoa (Horizontal está entre aspas pois, na verdade, a aceleração é inclinada). Já a força perpendicular será a força que dará origem à Normal da pessoa em relação ao tubo, que na verdade é a força que existe para anular o peso, que nesse caso está inclinado, e será um dos elementos que formarão a força de atrito.

Durante todo o percurso até o fim do brinquedo, a pessoa será “afetada” por todas as forças (ao contrário da Roda-Gigante, onde existe um período de tempo em que a Força Tangencial é nula). A Força Tangencial e o “Peso paralelo” ao tubo, como já mencionado anteriormente, serão responsáveis pelo aumento da velocidade “horizontal” da pessoa. Já a Força de Atrito é responsável em diminuir a aceleração “horizontal” da pessoa, ou seja, o vetor que define a Força de Atrito tem a mesma direção que o que define a Força Tangencial e o “Peso Paralelo”, mas com o sentido contrário.

Existe ainda o “Peso Perpendicular” que, como no brinquedo anterior, deve ser anulado, já que as pessoas não se movem verticalmente. Para anular essa força, existe a Normal, que terá um vetor de módulo e direção iguais ao “Peso Perpendicular”, mas com o sentido contrário ao mesmo.
E, como todos os brinquedos com trajetórias curvilíneas, existe a força centrípeta. Nesse caso, a Força Centrípeta atua da mesma força, mas a aceleração resultante da pessoa será encontrada com a soma do vetor da Força Centrípeta e da força que resultará da soma entre as forças paralelas ao tubo ( “Peso Paralelo”, Força Tangencial e Força de Atrito).

Com essas Informações, temos:

Fc = m.Ac
Ft = m. At
Ppe = P. Cos Ө
Ppa = P. Sen Ө
N = Ppe
P = m.g
Fat = N. µ
Ac = ώ² . R

a² = (Ft + Ppa – Fat)² + Fc²

Sendo:

Fc = Força Centrípeta
m = Massa da Pessoa
Ac = Aceleração Centrípeta
Ft = Força Tangencial
At = Aceleração Tangencial
Ppe = “Peso Perpendicular”
P = Peso das Pessoas
Ө = Ângulo de Inclinação entre o tubo e o chão
Ppa = “Peso Paralelo”
N = Normal
g = Gravidade
Fat = Força de Atrito
µ = Mi, valor tabelado
ώ = Velocidade de giro da pessoa
R = Raio da Circunferência observada na “Vista Superior”
a = Aceleração Resultante da pessoa.

Nesse brinquedo, a força centrípeta é importante para gerar a aceleração que faz a pessoa girar, impedindo-a de um choque direto com a curva do tubo, o que poderia causar acidentes leves ou até mais graves.

Rotor

O Rotor é um brinquedo que Existe em parques de diversões. Ele é constituído de um cilindro oco provido de um assoalho, que funciona como uma trava, onde as pessoas se seguram para não saírem dos seus lugares. As pessoas entram nesse cilindro e ficam de pé, segurando-se no assoalho. A partir de uma certa velocidade angular mínima, o assoalho é retirado, o que causa um enorme susto nos passageiros do brinquedo. Em compensação, ao contrário do que se imagina inicialmente, as pessoas se mantêm imóveis no brinquedo, sem se mexer em qualquer direção. Isso acontece por causa da força centrípeta. Eis o que acontece:

A forças atuantes nas pessoas são: Força Tangencial, Força Centrípeta, Peso, Normal da Pessoa em relação à parede do brinquedo e a Força de Atrito.

Quando uma Pessoa entra no brinquedo e ele começa a girar, a pessoa fica encostada na parede, de modo que exista uma força Normal que “empurre” a pessoa para frente. Existe também o Peso que, nesse caso, não mais será anulado pela normal, que agora atua na horizontal, mas pela Força de Atrito.

Para que o “sistema” esteja em equilíbrio, seria necessário que todas as forças se anulasse, apenas restando a força centrípeta, já que o sistema giraria com velocidade constante. Como a Normal está direcionada para o centro e não há forças que a anule, ela será a Força Centrípeta.
A força Tangencial atuará no início do brinquedo, até que ele alcance a velocidade mínima necessária para que as pessoas possam ficar presas à parede sem necessidade do assoalho. Quando essa velocidade for alcançada, o cilindro girará com velocidade constante, logo a Força Tangencial será, novamente, nula.

Sendo a Força de Atrito uma força que se iguala à força que ela “anula”, a menos que esta seja maior do que a Força de Atrito máxima, temos:

Fc = m.Ac
Ft = m. At
P = m.g
N = Fc
Fat ≤ µ . N
Ac = ώ² . R
Fat = P

Com isso:

Fc = N = m . ώ² . R
Fat ≤ µ . m . ώ² . R
P ≤ µ . m . ώ² . R
m . g ≤ µ . m . ώ² . R
g ≤ µ . ώ² . R
ώ ² ≥ g / (R . µ)

Logo:

ώminimo = √g / √(R . µ)

Sendo:

Fc = Força Centrípeta
Ft = Força Tangencial
m = Massa das pessoas
Ac = Aceleração Centrípeta
At = Aceleração Tangencial
N = Normal
P = Peso das pessoas
g = Força da Gravidade
µ = Mi, valor tabelado
Fat = Força de Atrito
ώ = Velocidade angular (velocidade de giro)
R = Raio do Cilindro

Podemos perceber que, independente do peso das pessoas, o brinquedo funciona da mesma forma, ele apenas depende do raio do cilindro, do µ das pessoas com a parede do cilindro e da gravidade, que é aproximadamente igual à 9,8m/s².

Esse brinquedo em especial, foi planejado e construído a partir da idéia da Força Centrípeta, já que percebe-se que todo o mecanismo gira entorno da mesma.